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Wachstumsprozesse einfach erklärt (00:10) Lineares Wachstum einfach erklärt (00:42) Einführendes Beispiel: Lineares Wachstum (00:42) Lineares Wachstum Darstellungsformen (01:44) Exponentielles Wachstum (02:48) Begrenztes Wachstum (03: 36) Logistikwachstum (04:07)
Wachstumsphasen Berücksichtigen
In diesem Artikel erklären wir die verschiedenen Wachstumsprozesse. Wir zeigen Ihnen für alle Wachstumsprozesse die passende Wachstumsfunktion und Beispiele.
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Wachstum ist die Entwicklung einer Bevölkerung im Laufe der Zeit. Der Begriff Population ist abstrakt und kann viele Größen abbilden. Stellen Sie sich zum Beispiel die Anzahl der verkauften Spielekonsolen, die Anzahl der Bakterien oder die Dicke des Papiers vor. Der Begriff „Populationszeitentwicklung“ bedeutet, dass man beispielsweise betrachtet, wie sich die Anzahl der Bakterien in einem Glas verändert, wenn man eine bestimmte Zeit wartet.
Je nachdem, mit welcher Wachstumsfunktion Sie die zeitliche Entwicklung darstellen möchten, unterscheiden Sie verschiedene Wachstumsprozesse. Die Wachstumsprozesse, die wir in diesem Artikel behandeln werden, sind
. Das heißt, wenn man eine Zeiteinheit (z. B. eine Sekunde) wartet, dann nimmt die Bevölkerung um genau diesen Betrag zu
Wenn die Differenz zwischen zwei Bevölkerungswerten in zwei benachbarten Zeiträumen immer gleich groß ist, kommt es zu einem linearen Wachstum. Insbesondere ist das lineare Wachstum nicht begrenzt.
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In der Realität sind jedoch viele Prozesse tatsächlich begrenzt. Wachstumsprozesse, die solche Einschränkungen berücksichtigen, sind begrenztes Wachstum und logistisches Wachstum.
Nehmen wir an, Sie möchten Geld für ein bevorstehendes Videospiel sparen. Dazu nimmt man ein Spardose und wirft täglich 2 Euro hinein. Die Wertetabelle für die ersten zehn Tage sieht so aus:
Sehen Sie, wie sich die Geldmenge (Bevölkerung) von Tag zu Tag immer um die Zahl 2 ändert? Und genau das zeichnet lineares Wachstum aus. Um beispielsweise von einem Wert nach 5 Tagen zu einem Wert nach 6 Tagen zu gelangen, würden Sie Folgendes berechnen
Dies gilt auch für alle anderen benachbarten Zeiträume. Im Allgemeinen können Sie den Wert nach t Tagen wie folgt berechnen
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In diesem Abschnitt zeigen wir Ihnen die explizite und rekursive Darstellung für lineares Wachstum mit jeweils einem Beispiel.
Der Name lineares Wachstum leitet sich von der Form der Wachstumsfunktion ab. Die Wachstumsfunktion für lineares Wachstum ist eine lineare Funktion.
Nehmen wir zum Beispiel an, Sie möchten Muskeln aufbauen. Ziel ist es, jede Woche 0,3 Kilogramm an Gewicht zuzunehmen. Ihr Startgewicht beträgt 65 Kilogramm. Wie sieht die Wachstumsfunktion für dieses Beispiel aus? Von Woche zu Woche ändert sich Ihr Gewicht um eine Zahl von 0,3. Dementsprechend ist es
Beachten Sie, dass wir die Einheiten aus Gründen der Übersichtlichkeit hier nicht angegeben haben. Die Formel spiegelt genau Ihr Ziel wider: Ihr Gewicht wird sich jede Woche um 0,3 Kilogramm verändern. Oder gleichwertig: Ihr Gewicht ändert sich alle 20 Wochen um 6 Kilogramm.
Die Wachstums Oder Vegetative Phase
Im Eröffnungsbeispiel haben wir die Wachstumsfunktion als gerade Linie gezeichnet, aber die Geldmenge liegt nicht zwischen benachbarten Perioden. Von Tag zu Tag werfen Sie immer 2 € in Ihr Sparschwein. Die Geldmenge springt also jeden Tag um 2. Eine Geldmenge von beispielsweise 3,5 € oder 8,4 € können Sie nicht erreichen.
Nehmen wir an, Sie haben einen großzügigen Onkel, der bereit ist, Ihnen ein neues Fahrrad zu kaufen. Dazu müssen Sie alle seine Pflanzen im Garten einmal pro Woche gießen. Insgesamt benötigen Sie jede Woche 20 Liter Wasser. Wie lautet die rekursive Darstellung der verbrauchten Wassermenge?
. Sie verbrauchen jede Woche 20 Liter Wasser. Dementsprechend steigt die Wassermenge pro Woche um 20 Liter. Nach einer Woche verbrauchen Sie 20 Liter, nach zwei Wochen 40 Liter und so weiter. So ist es
Es ist wichtig zu beachten, dass die absolute Änderungsrate konstant ist. Dies ist ein Schlüsselmerkmal für lineares Wachstum. Das haben wir bisher in allen Beispielen gesehen: Die Population verändert sich in den gleichen Zeitschritten um den gleichen Betrag.
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Bisher haben wir uns die Wachstumsfunktion für lineares Wachstum mit positiver Steigung angesehen. Somit stiegen die Bevölkerungswerte im Laufe der Zeit und der Begriff lineares Wachstum war zutreffend. Allerdings kann die Population im Laufe der Zeit auch zurückgehen. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie möchten keine Muskeln aufbauen, sondern abnehmen.
Eine solche zeitliche Entwicklung wird auch durch Wachstumsprozesse beschrieben, allerdings gibt es einen Rückgang und kein Wachstum. Die Wachstumsfunktion einzelner Wachstumsprozesse sieht bis auf ein zusätzliches Minuszeichen meist unverändert aus.
Wenn die Population im Zeitverlauf linear abnimmt (negative Steigung der Wachstumsfunktion), beschreibt der Begriff lineares Wachstum die zeitliche Entwicklung nicht mehr eindeutig. Stattdessen sprechen wir von einem linearen Rückgang. Die Wachstumsfunktion ist:
(a) Charakteristisch für lineares Wachstum ist, dass sich zwei Bevölkerungswerte in zwei benachbarten Zeiträumen immer um den gleichen Betrag unterscheiden. Um die gegebene Grundgesamtheit zu überprüfen, füllen wir die folgende Tabelle aus.
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Wir sehen, dass sich die Werte der Nachbarbevölkerung immer um den Faktor 4,75 unterscheiden. Die Bevölkerung kann dann durch lineares Wachstum modelliert werden.
In diesem Abschnitt werden wir kurz auf andere Wachstumsprozesse eingehen. Dazu gehören exponentielles Wachstum, begrenztes Wachstum und logistisches Wachstum. Zu jedem dieser Wachstumsprozesse haben wir einen eigenen ausführlichen Artikel. Wenn Sie mehr über die Wachstumsprozesse erfahren möchten, schauen Sie sich unsere Spezialartikel dazu an.
Während das lineare Wachstum durch eine konstante Änderungsrate gekennzeichnet ist, ist die Änderungsrate beim exponentiellen Wachstum direkt proportional zur Bevölkerungszahl. In Worten bedeutet das: Je mehr es gibt, desto mehr werden im nächsten Zeitschritt hinzugefügt. Dies geht aus der folgenden definierenden Eigenschaft des exponentiellen Wachstums hervor.
Wenn sich die Bevölkerungswerte zwischen zwei benachbarten Zeiträumen immer um den gleichen Faktor unterscheiden, kommt es zu einem exponentiellen Wachstum.
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Es gibt also, wie beim linearen Wachstum, keine Grenze. Für diesen Wachstumsprozess findet man auch den Begriff unbegrenztes Wachstum. Beachten Sie, dass die definierende Eigenschaft ähnlich wie lineares Wachstum klingt. Der Unterschied besteht jedoch darin, dass wir bei exponentiellem Wachstum multiplizieren und bei linearem Wachstum addieren.
Sie haben eine unbekannte Spezies vor sich. Jeden Tag messen Sie die Zahl und schreiben sie auf. Nach einer Woche werden Sie feststellen, dass sich die Zahl täglich verdreifacht hat. Das bedeutet, dass zwischen der Zahl eines bestimmten Tages und der Zahl des nächsten immer ein Faktor 3 liegt, als Formel lässt sich die Zahl so ausdrücken.
Die Wachstumsprozesse waren bisher unbegrenzt. Die Werte können also positiv oder negativ sein. In der Realität sind jedoch viele Prozesse begrenzt. Daher sind Wachstumsprozesse erforderlich, bei denen die Wachstumsfunktion nicht beliebig große oder kleine Werte annehmen kann.
Ein solcher Wachstumsprozess ist das eingeschränkte Wachstum. Es weist eine Besonderheit auf, nämlich das Vorhandensein einer natürlichen Barriere. Diese Barriere kann die Population nach oben oder unten begrenzen. Dies bedeutet, dass die Bevölkerung niemals den Grenzwert überschreiten wird (wenn das Wachstum nach oben begrenzt ist) oder ihn unterschreiten wird (wenn das Wachstum nach unten begrenzt ist).
Logistisches Wachstum: Formel & Definition
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Es gibt eine Obergrenze für die Anzahl der Seiten, die Sie lesen können, da Sie nicht mehr als 450 Seiten lesen können. Dies bedeutet, dass 450 der Wert der natürlichen Grenze ist
Auch logistisches Wachstum gehört zu den begrenzten Wachstumsprozessen. Ähnlich wie beim begrenzten Wachstum gibt es auch ein natürliches Hindernis für das logistische Wachstum. Dies wird als Sättigungsgrenze oder Obergrenze bezeichnet.
Durch den Verbrauch der Ressource wird das Wachstum immer kleiner, bis es schließlich zum Stillstand kommt.
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Das Lager bietet Platz für insgesamt 200 Autos. Zu Beginn stehen 40 Autos in der Halle. Nach einer Woche waren 100 Autos in der Halle geparkt. Was ist in diesem Fall die Wachstumsfunktion?
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Wenn es um den Lebenszyklus eines Produkts geht, ist zu beachten, dass die Phasen nicht streng aufeinander folgen, sondern sich auch wiederholen können. Sie können auch unterschiedliche Längen haben.
Wie der Name schon sagt, ist die Entwicklungsphase des Produktlebenszyklus die Zeit, in der das Produkt oder die Dienstleistung entwickelt wird. In dieser Phase wird das ausgewählte Produkt an Hotel- oder Restaurantgästen getestet. Es wird geprüft, wie die Gäste es annehmen (Akzeptanzcheck). Entwicklung und Tests haben Zeit gekostet und das ist erst der Anfang
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